Matus Kozáčik begann mit dem Fußballspielen beim Heimatverein MFK Dolný Kubin. Im Jahr 1998 wechselte der Torwart zum 1. FC Košice, wo er im Jahr 2000 in den Profikader aufgenommen wurde. Zwei Jahre später ging Kozáčik in die erste Tschechische Liga zu Slavia Prag, wo er zunächst Ersatz war. Nach dessen Abgang Anfang 2005 war Kozáčik die neue Nummer Eins im Tor, musste aber in der Rückrunde 2006/07 Michal Vorel Platz machen. Ende Juli 2007 wechselte er zum Stadtrivalen Sparta Prag, wo er zunächst hinter Tomáš Poštulka und später hinter Jaromír Blažek die Nummer Zwei war. Im Juni 2010 wechselte der Slowake zu Anorthosis Famagusta und machte 46 Spiele. Im Jahr 2012 nahm Viktoria Pilsen den begabten Slowaken unter Vertrag.