Der junge türkische Torwart spielte bereits für das Jugend- und das Seniorteam seines Vereins. In der Saison 2006/2007 verlieh ihn sein Verein an İstanbulspor, wo er in 13 Spielen im Tor stand. In den 1170 Minuten kassierte er nur 21 Gegentore.
Nachdem der zweite Torwart Fenerbahçes Serdar Kulbilge die Mannschaft zur Saison 2008/09 verließ, rückte Babacan hinter Volkan Demirel eine Position auf. Sein Debüt in der Süper Lig gab er am 20. September 2008 gegen Gençlerbirliği Ankara und zeigte dort eine gute Leistung.
Im Sommer 2010 wechselte Babacan zum türkischen Erstligisten Kayserispor. Zur Saison 2011/2012 wurde er an Manisaspor ausgeliehen, um dort Spielpraxis zu sammeln. Zur neuen Saison wechselte er schließlich endgültig zu diesem Klub. Hier etablierte er sich zu einem Leistungsträger und wurde auch zum Mannschaftskapitän ernannt. Bei Manisaspor stieg er auch zum A-Nationalspieler auf. Zum Sommer 2014 wechselte Babacan in die Süper Lig zum Aufsteiger Istanbul Başakşehir FK und ist dort ebenfalls als Stammtorhüter gesetzt.
Nationalmannschaft:
Babacan nahm mit der türkischen U-17-Auswahl an der U-17-Fußball-Europameisterschaft im Jahr 2004 teil und kam beim dortigen Vorrundenaus in allen drei Partien zum Einsatz. Auch bei der U-17-Europameisterschaft 2005 war er Stammtorhüter und absolvierte alle fünf Partien beim Gewinn des Europameistertitels. Bei der anschließenden U-17-Weltmeisterschaft 2005 in Peru war Babacan Kapitän der Mannschaft mit Spielern wie Nuri Şahin, Deniz Yılmaz, Tevfik Köse und Caner Erkin, als das Team erst im Halbfinale mit 3:4 an Brasilien scheiterte und letztlich den 4. Platz belegte. Babacan war ein wichtiger Bestandteil des Juniorenteams und zeigte gute Leistungen.
Mit der U-18-Auswahl nahm er am UEFA-CAF Meridian Cup 2005 teil, im selben Jahr gewann er mit der türkischen Olympiaauswahl eine Silbermedaille bei den Mittelmeerspielen 2005. Auch bei der U-19-Europameisterschaft 2006 war Babacan Stammkeeper, konnte das Aus in der Gruppenphase aber nicht verhindern. Mit der U-21 scheiterte er jeweils bereits in der EM-Qualifikation, 2009 in den Play-offs gegen Weißrussland, 2011 in der Gruppenphase an der Schweiz. Nachdem er bei seinem Verein über mehrere Wochen zu überzeugen wusste, wurde er im Anschluss an die Saison 2013/14 im Rahmen einer 18-tätigen Länderspielreise vom Nationaltrainer Fatih Terim in den Kader der türkischen Nationalmannschaft nominiert. Im ersten Spiel dieser Länderspielreise gab Babacan im Testspiel gegen die Kosovarische Fußballauswahl sein Länderspieldebüt. Nach dieser Partie wurde er zwar in den nächsten sechs Spielen nominiert, saß aber auf der Ersatzbank. Erst mit dem Qualifaktionsspiel zur Europameisterschaft 2016 gegen Lettland kam er wieder zu einem A-Länderspieleinsatz. Mit dieser Partie eroberte er sich auch in der Nationalmannschaft den Stammtorhüterplatz und hütete, bis auf eine Testspielpartie gegen die Luxemburgische Nationalmannschaft, in den nachfolgenden acht Länderspielen das türkische Tor.