Mit 14 Jahren begann Heorhiy Bushchan in der Jugend von Dynamo Kiew, wo er bis heute spielt. Ab der Saison 2011/12 gehörte er zeitweise zum Kader der ersten Mannschaft von Dynamo. Sein Debüt bei den Profis gab er am 20. August 2017, als beim 4:1-Sieg in der ukrainischen Premier League gegen Stal Kamianske im Tor stand. In der gleichen Saison konnte er auch erste internationale Erfahrungen sammeln, indem er 3 Spiele in der Gruppenphase der Europa League für die Ukrainer bestritt.
Ukrainischer Meister und Pokalsieger
In der Saison 2019/20 konnte sich Bushchan als Dynamos Stammtorhüter etablieren. In diesem Jahr erreichte das Team dem zweiten Tabellenplatz und gewann den Pokalwettbewerb. Mit der Meisterschaft klappt es dann 2020/21, als Bushchan 23 von 26 Ligaspiele machte. Außerdem stand er für Dynamo in 4 Spielen der Champions League Gruppenphase im Tor.
Nationalmannschaft
Sein Debüt für die ukrainische Nationalmannschaft gab Bushchan am 7. Oktober 2020 in einem Freundschaftsspiel gegen Frankreich, welches mit einer 1:7 Schlappe endete. Drei Tage später spiele er in der UEFA Nations League A gegen Deutschland. Die Deutschen konnten knapp mit 2:1 gewinnen. Nach insgesamt 6 Einsätzen in der A-Nationalmannschaft ging er als Stammtorwart zur EM 2021